Суставы бывают простые сложные и комбинированные


Суставы человека: анатомия и классификация

Движение — одно из величайших природных даров, заботливо преподнесённых человеку. Чтобы успеть справиться с сотней повседневных дел, приходится преодолеть не один километр, и всё это благодаря слаженной работе суставов. Они объединяют кости скелета в единое целое, формируя сложную систему опорно-двигательного аппарата.

Суставы человеческого тела условно делят на три функциональные группы. Первые — синартрозы — обеспечивают полностью неподвижное сочленение двух и более костей и формируются в черепе человека по мере зарастания младенческих родничков.

Вторые — амфиартрозы — двигаются весьма ограниченно и представлены позвоночным столбом. И, наконец, третьи — диартрозы — самые многочисленные в организме суставы, которые относятся к истинным и являются полностью подвижными. Благодаря им человек может наслаждаться активным образом жизни, заниматься работой или любимым хобби, справляться с домашними заботами — делать всё то, что невозможно выполнить без движения.

Строение сустава человека

Сустав — это место сочленения двух и более костей в единую функциональную систему, благодаря которой человек может поддерживать устойчивую позу и передвигаться в пространстве. Основные элементы сустава представлены следующими образованиями:

  • покрытые хрящевыми тканями суставные поверхности;
  • суставная полость;
  • капсула;
  • синовиальная оболочка и жидкость.

Суставные поверхности расположены на сочленяющихся костях и покрыты тонким хрящом толщиной от 0,2 до 0,5 мм. Эти хрящи имеют плотную эластичную структуру за счёт переплетения гиалиновых волокон. Абсолютно гладкая поверхность, отполированная постоянным скольжением костей относительно друг друга, значительно облегчает движение внутри сустава; а упругий хрящ обеспечивает безопасность, играя роль своеобразного амортизатора при нагрузке и резких толчках.

Суставная капсула образует герметичную полость вокруг сустава, защищая его от внешнего воздействия. Она состоит из упругих нитей, которые надёжно переплетаются, закрепляясь у основания костей, образующих сочленение. Для придания особой прочности в стенки капсулы вплетаются волокна прилегающих мышц и сухожилий.

Снаружи суставную сумку окружает фиброзная оболочка, изнутри — синовиальная мембрана. Наружный фиброзный слой более плотный и толстый, поскольку образован продольными тяжами волокнистой соединительной ткани. Синовиальная мембрана менее массивна. Именно здесь сосредоточена большая часть нервных окончаний, отвечающих за болевую восприимчивость сустава.

Синовиальная оболочка и суставные поверхности образуют герметичное щелевидное пространство — суставную полость. Внутри неё могут располагаться мениски и диски, обеспечивающие подвижность и поддержку сустава.

На поверхности синовиальной мембраны имеются специальные секреторные ворсинки, которые отвечают за выработку синовиальной жидкости. Заполняя внутреннее пространство полости, это вещество питает и увлажняет сустав, а также смягчает трение, возникающее между суставными поверхностями во время движения.

Непосредственно вокруг сустава располагаются околосуставные ткани, представленные мышечными волокнами, связками, сухожилиями, нервами и сосудами. Мышцы обеспечивают подвижность по различным траекториям; сухожилия удерживают сустав, ограничивая угол и интенсивность движений; прослойки соединительной ткани служат местом закрепления сосудов и нервов; а кровеносное и лимфатическое русло питает сустав и прилегающие ткани. Как правило, околосуставные ткани в организме защищены недостаточно, поэтому активно реагируют на любое внешнее воздействие. При этом нарушения, возникающие в околосуставных тканях, сказываются и на состоянии сустава, провоцируя возникновение различных заболеваний.

Особое место в анатомии суставов человека занимают связки. Эти прочные волокна укрепляют костное сочленение, удерживая все анатомические единицы сустава и ограничивая амплитуду движения костей. В большинстве диартрозов связки располагаются на внешней стороне сумки, однако наиболее мощные из них (например, тазобедренный) нуждаются в дополнительной поддержке, поэтому имеют и внутренний связочный слой.

Анатомия суставов: кровоснабжение и иннервация

Чтобы поддерживать физиологические возможности сустава, ему необходимо достаточное питание, которое в большей степени обеспечивается за счёт кровообращения. Артериальные сети, окружающие суставную капсулу, обычно состоят из разветвлений 3‒8 артерий различного диаметра, по ним к тканям поступают молекулы кислорода и питательных веществ. А венозное русло отвечает за полноценное выведение токсинов и продуктов распада из прилегающих тканей.

Иннервация сустава обеспечивается посредством переплетения симпатических и спинномозговых нервов. Нервные окончания содержатся практически в каждой анатомической единице, образующей сустав, за исключением гиалиновых хрящей. От их чувствительности зависит восприятие болевых ощущений и активация защитных механизмов организма.

Функции суставов

Ключевая функция суставов заключается в объединении костных образований в единую структуру. Вместе с костями и связками они образуют пассивную часть опорно-двигательного аппарата, которая приходит в движение при участии мышечных волокон. Благодаря суставам кости могут менять положение относительно друг друга, скользить и при этом не истираться. Малейшее истончение суставной ткани может привести к серьёзным последствиям, поскольку костные структуры при трении очень быстро изнашиваются, вызывают сильную болезненность и необратимую деформацию скелета.

Кроме того, суставы помогают поддерживать стационарную позицию тела в пространстве. Неподвижные сочленения обеспечивают постоянную форму черепа, малоподвижные позволяют принимать вертикальное положение, а подвижные относятся к органам локомоции, то есть передвижения организма.

Классификация суставов

В анатомии принято классифицировать суставы на несколько групп в зависимости от количества и формы суставных поверхностей, выполняемых функций и диапазона движений. По числу суставных поверхностей выделяют следующие виды суставов:

  • Простой имеет две суставные поверхности (например, фаланги пальцев). В его образовании принимают участие только две кости.
  • Сложный включает три и более суставных поверхности, поскольку образован как минимум тремя костями (например, локтевой).
  • Комплексный имеет внутрисуставной хрящевой элемент — мениск или диск. Он разделяет полость сустава на две независимые камеры (например, коленный).
  • Комбинированный — это комплекс нескольких отдельных суставов, принимающих участие в одном и том же действии (например, височно-нижнечелюстной). Каждый сустав в этом комплексе анатомически изолирован, однако физиологически не может справляться с поставленной задачей без «компаньона».

Классификация по функциям и траектории движений основана на форме суставных поверхностей. Исходя из этого критерия, выделяют следующие группы:

  1. Одноосные суставы: цилиндрический, блоковидный и винтообразный. Цилиндрический сустав способен выполнять вращательные движения. По этому принципу устроено сочленение между первым и вторым шейными позвонками. Блоковидный сустав позволяет выполнять движения только по одной оси, например, вперёд/назад или вправо/влево. Разновидностью таких сочленений являются винтообразные суставы, в которых траектория движений выполняется немного косо, образуя своеобразный винт.
  2. Двухосные суставы: эллипсовидный, седловидный, мыщелковый. Эллипсовидный сустав образован суставными поверхностями, одна из которых имеет выпуклую форму, а другая — вогнутую. Благодаря этому в сочленениях данного типа может поддерживаться движение вокруг двух взаимно перпендикулярных осей. Седловидный сустав в организме человека только один — запястно-пястный. Траектория движений в нём охватывает вращение, включая раскачивание из стороны в сторону и вперёд/назад. Мыщелковые суставы способны поддерживать аналогичную подвижность благодаря эллипсовидному отростку (мыщелку) на одной из костей и подходящей по размеру впадине на другой суставной поверхности.
  3. Многоосные суставы: шаровидный, чашеобразный, плоский. Шаровидные суставы — одни из самых функциональных, поскольку подразумевают наиболее широкий диапазон движений. Чашеобразные сочленения являются чуть менее подвижной версией шаровидных. А плоские суставы, наоборот, отличаются примитивным строением и минимальным объёмом движений.

Заболевания суставов человека

Согласно статистике ВОЗ, боли в суставах знакомы как минимум каждому седьмому человеку во всём мире, причём среди возрастной группы от 40 до 70 лет встретить те или иные проблемы можно в 50 % случаев, старше 70 лет — в 90 % случаев. Такая распространённость заболеваний опорно-двигательного аппарата связана со многими факторами:

  • низкая двигательная активность, при которой суставы не функционируют и, соответственно, не получают с током крови должное количество питания;
  • неудобная, слишком тесная обувь и одежда, которая ограничивает заложенный природой функционал;
  • плохая наследственность как один из факторов риска развития патологий, связанных с суставами;
  • кардинальные изменения температурного режима, включая как перегрев, так и переохлаждение;
  • инфекционные процессы в организме, которые часто провоцируют осложнения, связанные с работой суставов;
  • травмы, которые снижают функциональность опорно-двигательного аппарата;
  • преклонный возраст.

Эксперты утверждают, что сохранить здоровье суставов вполне реально, если вовремя заняться профилактикой заболеваний. Следует избегать травм и повреждений, укреплять иммунитет, включить в повседневный график занятия спортом. Отличным вариантом может стать йога, ведь статические нагрузки хорошо укрепляют мышцы и связки, удерживающие суставы. Заботьтесь о своём здоровье заблаговременно — этот природный ресурс гораздо проще сохранить, чем восполнить!

Что такое простые, сложные и сложные предложения?

Одна вещь, на которую ProWritingAid отлично подчеркивает, - это разнообразие длин предложений, которые вы используете в своем письме. Вы знаете, что изменение длины создает более лирический изгиб вашего письма. Вам не нужны короткие предложения. Также вам не нужны длинные предложения, которые усложняют понимание вашего читателя.

Простые, составные и сложные предложения - все способы варьировать длину. Посмотрим, как они работают.

Простые предложения

В простом предложении есть только самые элементарные строительные блоки предложения: подлежащее и глагол, используемые в законченной мысли, также называемой независимым предложением.

Вот несколько примеров простых предложений:

  • Кристина пила утренний кофе. ( Кристина = предмет , выпила = глагол )

  • Кристина приняла душ и оделась. ( Кристина = испытуемых , мылась и одела = составные глаголы )

Простые предложения обычно короткие.Вы можете использовать сложные подлежащие и глаголы, чтобы увеличить длину, но по большей части использование слишком большого количества простых предложений делает ваше письмо прерывистым.

Сложные приговоры

Сложные предложения объединяют два независимых предложения вместе с союзом.

  • Кристина выпила утренний кофе, затем приняла душ и оделась.

Обратите внимание, что первая часть предложения и последняя часть могут стоять отдельно как независимые предложения. Главное - не использовать слишком много сложных предложений вместе, иначе ваше письмо будет звучать неестественно.

Сложные предложения

В сложном предложении используется независимое предложение в сочетании с одним или несколькими зависимыми предложениями. Зависимое предложение похоже на независимое предложение, но оно не может стоять само по себе как законченное предложение. В сложных предложениях также используются союзы, чтобы связать их вместе.

Примеры:

  • Кристина опоздала на утренний поезд, так как она проснулась поздно, когда сработал ее будильник.

  • Наблюдая за отходом поезда от станции, Кристина поняла, что снова опоздает на работу.

Зависимые предложения также могут находиться в конце независимого предложения, как в этих примерах:

  • Кристина опоздала на утренний поезд, потому что проснулась поздно, когда сработал ее будильник.

  • Кристина поняла, что снова опоздает на работу, когда смотрела, как поезд отходит от станции.

Вот сложное предложение с двумя составными независимыми предложениями и одним зависимым предложением:

  • Кристина опоздала на свой утренний поезд и, наблюдая, как он отходит от станции, поняла, что снова опоздает на работу.

Заинтересованы в других статьях из нашей серии "Гимназия"?


Поднимите свое письмо на новый уровень:

20 советов по редактированию от профессиональных писателей

Пишете ли вы роман, эссе, статью или электронное письмо, хорошее письмо является неотъемлемой частью передачи ваших идей.

Это руководство содержит 20 наиболее важных советов и приемов письма от широкого круга профессиональных писателей.

Подпишитесь на написание хаков, специальных предложений и бесплатных вещей

Мы не передадим ваши данные

Вы уже пробовали ProWritingAid? Чего ты ждешь? Это лучший инструмент для обеспечения надежности, четкости и отсутствия ошибок в вашей копии!

ProWritingAid: гуру грамматики, редактор стилей и наставник в одном пакете.

У самых успешных людей в мире есть тренеры. Независимо от вашего уровня письма, ProWritingAid поможет вам достичь новых высот. Отличное письмо зависит от гораздо большего, чем просто правильная грамматика. Вам нужен инструмент для редактирования, который также выделяет проблемы стиля и сравнивает ваши произведения с лучшими писателями в вашем жанре. ProWritingAid поможет вам найти лучший способ выразить свои идеи.

.

Простое, сложное, сложное и составное-сложное

В английском языке есть четыре структуры предложений: Simple , Compound , Complex, и Compound-Complex . Вот примеры каждого из них:

  1. Она пообедала. ( Простой : одно независимое предложение)
  2. Она пообедала, но все еще была голодна. ( Соединение : два независимых предложения, соединенных координирующим союзом).
  3. Она все еще была голодна, хотя пообедала.( Комплекс : независимое предложение + зависимое предложение)
  4. Она устала и все еще была голодна, даже несмотря на то, что съела обед ( Составно-комплексный : два независимых предложения, соединенных координирующим союзом и одно зависимое предложение)

Первое: понимание предложений

Предложение - это группа слов, которая включает в себя тему и глагол . Важно понимать, что есть два типа предложений:

Независимые предложения

Предложение должно содержать как минимум одно независимое предложение.Независимое предложение - это группа слов, которые образуют законченную мысль , когда вы соединяете их вместе. Вот несколько примеров:

  • Она пообедала.
  • Машина ехала по бездорожью.
  • Во вторник у меня был тест.

Эти предложения представляют собой полных мыслей , что означает, что для их полного понимания больше не требуется никакой информации.

Зависимые предложения (придаточные предложения)

Зависимые предложения - это неполных мыслей.Они зависят от независимого предложения, чтобы предложение имело смысл. Зависимые предложения начинаются с подчиненного союза . Вот несколько примеров:

  • , когда я вернулся домой (что случилось?)
  • , потому что ресторан был закрыт (что произошло, потому что он был закрыт?)
  • , которого я очень уважаю (кто мы о чем говорите?)

Как видите, требуется независимое предложение, чтобы превратить эти предложения в полных предложений .Вот они, написанные в виде полных предложений (известных как сложные предложения):

  • Я мыл посуду, когда вернулся домой
  • Мы не могли есть, потому что ресторан был закрыт.
  • Владелица компании - Элис Браун, которую я очень уважаю.

Теперь, когда вы это понимаете, мы можем взглянуть на четыре различных структуры предложений.

Структура № 1: Простые предложения


Простое предложение - это одно независимое предложение .Предложение - это группа слов, которые содержат подлежащее и глагол, а независимое предложение - это группа слов, которые образуют законченную мысль , когда вы соединяете их вместе. Вот несколько примеров:

  • Она пообедала. (Независимая статья)
  • Автомобиль проехал по бездорожью. (Независимая оговорка)
  • Во вторник у меня был тест. (Независимое предложение)

Опять же, все эти предложения представляют собой полных мыслей .

Структура № 2: Составные предложения


Составное предложение состоит из двух независимых предложений, соединенных координирующим союзом.

Хотя наиболее часто используются координирующие союзы , но , и , , так что и или , в английском языке есть семь координирующих союзов:

  • F = для
  • A = и
  • N = ни
  • B = но
  • O = или
  • Y = еще
  • S = так
[независимый пункт], {координирующее соединение} [независимый пункт ]
Она ела обед, , но она все еще была голодна.
Он сел, и он прочитал книгу.
Было дождливо, так что мы остались внутри.
Мы можем заказать еду или можем приготовить макароны дома.

Все вышеупомянутые предложения являются независимыми предложениями, соединенными координирующим союзом, поэтому все они являются составными предложениями.

Структура № 3: Сложные предложения


Сложное предложение имеет зависимое и независимое предложения.Зависимое предложение может стоять в начале предложения или в конце. Вот несколько примеров:

  • Она заснула, потому что устала.
  • Поскольку она устала, она заснула.
  • Я позвоню вам, если пойду.
  • Если я пойду, я вам позвоню.

(Примечание: когда зависимое предложение начинает предложение, вы должны поставить в его конце запятую , чтобы показать, где заканчивается предложение.)

Прилагательное предложение (также известное как относительное предложение) также также считается зависимой оговоркой.Например:

  • Это магазин, в котором я купил шляпу.
  • Ванкувер, расположенный на западе Канады, - красивый город.

Структура № 4: Составно-сложное предложение


Составно-сложное предложение имеет следующее:

  1. два независимых предложения объединились в координирующее соединение
  2. зависимое предложение

Зависимое предложение может быть в любом месте предложения. Вот несколько примеров:

  • Она достала зонтик, потому что шел дождь, и пошла домой.
  • Я не люблю заниматься спортом, но я сделаю это, если потребуется.
  • Мужчина, который был на другой стороне улицы, помахал мне рукой, и я посмотрел на него.

Вопрос: А как насчет соединения-соединения? Сложно-Сложный?

Технически, вы можете составлять более сложные типы структур предложений, например:

  • Она пришла, затем он пришел, а потом пришел я, так что мы все были там.

Это предложение соединение-соединение-соединение ? Нет.Это по-прежнему просто сложное предложение. Кроме того, это плохо написанное предложение.

  • Перед тем, как пойти домой, она убрала место, где работала.

Это комплексно-комплексное предложение ? Нет. Это по-прежнему называют сложным предложением, хотя есть два зависимых предложения.

Почему все это так важно? Какие структуры предложений я должен использовать?

В разговорной речи в основном используются простые и сложные предложения, но письменная речь более высокого уровня (напр.грамм. академические и деловые коммуникации) должны использовать и сложных структур. Сложное предложение может быть более эффективным , потому что оно может содержать несколько идей в одном предложении. Кроме того, использование союзов, таких как , хотя или , потому что помогает читателю понять, как идеи связаны друг с другом, что делает ваше письмо более связным .

Тем не менее, хорошее письмо не означает , а только , состоящие из длинных и сложных предложений. Написание наиболее эффективно , когда оно ясное.Между прочим, два вышеупомянутых абзаца содержали следующее:

  • Составные предложения : 1
    • В разговорной речи в основном используются простые и составные предложения, но при письме более высокого уровня (например, в академических и деловых кругах) следует использовать разнообразие структур (например, простые, сложные и сложные).
  • Сложные предложения : 2
    • Сложное предложение может быть более эффективным, поскольку оно может содержать несколько идей в одном предложении.
    • Кроме того, использование союзов, таких как «, хотя » или «, потому что », помогает читателю понять, как идеи соотносятся друг с другом, что делает ваше письмо более связным.
  • Простые предложения : 4
    • Тем не менее, хорошее письмо не означает только , когда используются длинные и сложные предложения.
    • Написание наиболее эффективно, когда оно четкое.
    • Этого можно добиться с помощью коротких простых предложений, таких как это.
    • Короче говоря, эффективное письмо означает использование разнообразных структур предложений.
  • Компаунд-комплекс : 0

Как вы думаете, вы понимаете? Попробуйте наши упражнения ниже!

Упражнения № 1: Определение структур предложений

  1. Мужчина улыбнулся и засмеялся. SimpleCompoundComplexCompound-Complex
  2. Человек улыбнулся, но я не знал почему. SimpleCompoundComplexCompound-Complex
  3. Когда кошка отсутствует, мыши будут играть.SimpleCompoundComplexCompound-Complex
  4. Ответ не известен. SimpleCompoundComplexCompound-Complex
  5. Если люди хотят подать заявку, они могут позвонить по телефону 1-800-493-222 или отправить электронное письмо по адресу [email protected] SimpleCompoundComplexCompound-Complex
  6. Он задал мне вопрос, и я ответил. SimpleCompoundComplexCompound-Complex
  7. Я написал в компанию по электронной почте, и они немедленно ответили, что меня удивило.SimpleCompoundComplexCompound-Complex
Показать ответы и объяснение
  1. Простое (независимое предложение) Примечание: «и смеялись» - это не пункт, потому что в нем нет другого подлежащего и глагола.Следовательно, в этом предложении есть только одно предложение
  2. Составное (Независимое предложение + координирующее соединение + Независимое предложение)
  3. Комплексное (Зависимое предложение + Независимое предложение)
  4. Простое предложение (Независимое предложение)
  5. Составное комплексное (Зависимое предложение, независимое предложение + координирующее соединение + независимое предложение)
  6. Соединение (Независимое предложение + координирующее соединение + Независимое предложение)
  7. Составно-комплексное (Независимое предложение, координирующее соединение, независимое предложение, зависимое предложение)

Упражнения № 2: Определение структур предложений

  1. Железнодорожный вокзал все еще был закрыт, но несколько кафе были открыты.SimpleCompoundComplexCompound-Complex
  2. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать. SimpleCompoundComplexCompound-Complex
  3. Некоторым людям для работы нужен только компьютер, поэтому они могут легко работать из дома.SimpleCompoundComplexCompound-Complex
  4. Во вторые выходные июля прошлого года я пошел в поход.SimpleCompoundComplexCompound-Complex
  5. По мере роста населения , нехватка продуктов питания становится более распространенной, а качество жизни может снижаться. SimpleCompoundComplexCompound-Complex
  6. Стоимость услуги увеличилась на 20%, но поскольку компания не информировала своих клиентов, многие люди требовали объяснений.SimpleCompoundComplexCompound-Complex
  7. Многие ученики не понимали, поэтому их учитель объяснил ответ очень четко и медленно. SimpleCompoundComplexCompound-Complex
Показать ответы и пояснения
  1. Соединение (Независимое предложение + координирующее соединение + Независимое предложение)
  2. Комплексное (Зависимое предложение + Независимое предложение)
  3. Соединение (Независимое предложение + координирующее соединение + Независимое предложение + координирующее соединение + Независимое предложение )
  4. Простой (Независимое предложение) Примечание: «Во вторые выходные июля прошлого года» - это предложная фраза, а не предложение, потому что здесь нет подлежащего или глагола.
  5. Составно-комплексный (Зависимое предложение, Независимое предложение + координирующее соединение Независимое предложение)
  6. Составно-комплексное (Независимое предложение, координирующее соединение, зависимое предложение, независимое предложение)
  7. Соединение (Независимое предложение, координирующее соединение , Независимая оговорка)

Если у вас есть какие-либо вопросы о структуре предложений, оставьте, пожалуйста, комментарий ниже или посетите наш форум.

- Создано Мэтью Бартоном из Englishcurrent.com (Авторское право)

.

Простое, составное или сложное

Укажите, являются ли следующие предложения простыми, сложными или составными.

1. Этому раздражающему мужчине повезло иметь такую ​​терпеливую жену.

2. Он прижал ее к себе и поклялся никогда не оставлять ее.

3. Раньше это был фешенебельный ресторан.

4. Чтобы совершить кругосветное плавание в одиночку, требуется много силы духа.

5. Несмотря на то, что Мохит очень умен, он не получает хороших оценок.

6.Всем пассажирам не терпелось узнать, когда приедет поезд.

7. Отец опоздал, потому что его задержали в офисе.

8. Когда мы открыли этот магазин, это был удачный день.

9. Хотя дети устали, они продолжали играть.

10. Нам всем понравилось платье, которое она была одета.

Ответы

1. Этому раздражающему мужчине повезло иметь такую ​​терпеливую жену. (Простое предложение)

2. Он прижал ее к себе и поклялся никогда не оставлять ее.(Сложное предложение)

3. Раньше это был фешенебельный ресторан. (Простое предложение)

4. Чтобы совершить кругосветное плавание в одиночку, требуется много силы духа. (Простое предложение)

5. Несмотря на то, что Мохит очень умен, он не получает хороших оценок. (Простое предложение)

6. Всем пассажирам не терпелось узнать, когда приедет поезд. (Сложное предложение)

7. Отец опоздал, потому что его задержали в офисе. (Сложное предложение)

8.Это был удачный день, когда мы открыли этот магазин. (Сложное предложение)

9. Хотя дети устали, они продолжали играть. (Сложное предложение)

10. Нам всем понравилось платье, которое она была одета. (Сложное предложение)

.

Комплексные числа


Комплексный номер

Комплексное число - это комбинация действительного числа
и мнимого числа

Реальные числа - это числа вроде:

1 12,38 -0,8625 3/4 √2 1998

Практически любое число, которое вы можете придумать, является действительным числом!

Мнимые числа при возведении в квадрат дают отрицательный результат .

Обычно этого не происходит, потому что:

Но только представьте, что такие числа существуют, потому что мы хотим их.

Давайте поговорим еще о мнимых числах ...

«Единичное» мнимое число (например, 1 для действительных чисел) - это i, который является квадратным корнем из −1

.

Потому что, возводя i в квадрат, мы получаем −1

я 2 = -1

Примеры мнимых чисел:

3i 1.04i −2,8i 3i / 4 (√2) я 1998i

И мы оставляем там маленькое «i», чтобы напомнить нам, что нам нужно умножить на √ − 1

Комплексные числа

Когда мы объединяем действительное число и мнимое число, мы получаем комплексное число :

Примеры:

1 + я 39 + 3i 0,8 - 2,2i −2 + πi √2 + я / 2

Может ли число быть комбинацией двух чисел?

Можем ли мы составить одно число из двух других чисел? Мы можем точно!

Мы постоянно делаем это с дробями.Дробь 3 / 8 - это число, состоящее из 3 и 8. Мы знаем, что это означает «3 из 8 равных частей».

Ну, комплексное число - это всего лишь , два числа, сложенные вместе (действительное и мнимое число).

Любая часть может быть нулевой

Итак, комплексное число имеет действительную и мнимую части.

Но любая часть может быть 0 , поэтому все действительные и мнимые числа также являются комплексными числами.

Комплексный номер Реальная часть Воображаемая часть
3 + 2i 3 2
5 5 0 Чисто Настоящее
−6i 0 −6 Чисто воображаемое

Сложно?

Сложный не означает сложный.

Это означает, что два типа чисел, действительные и мнимые, вместе образуют комплекс , точно так же, как комплекс зданий (здания, соединенные вместе).

A Визуальное объяснение

Вы знаете, как проходит числовая линия слева направо ?

Что ж, пусть воображаемые числа идут вверх-вниз :

И получаем сложный самолет

Комплексное число теперь может отображаться как точка:


Комплексный номер 3 + 4 и

Добавление

Чтобы сложить два комплексных числа, складываем каждую часть отдельно:

(a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i

Пример: сложите комплексные числа 3 + 2 i и 1 + 7 i

  • сложите действительные числа и
  • сложите мнимые числа:

(3 + 2i) + (1 + 7i)
= 3 + 1 + (2 + 7) i
= 4 + 9i

Попробуем еще:

Пример: сложите комплексные числа 3 + 5 i и 4 - 3 i

(3 + 5 i ) + (4 - 3 i )
= 3 + 4 + (5 - 3) i
= 7 + 2 i

В комплексной плоскости это:

Умножение

Для умножения комплексных чисел:

Каждая часть первого комплексного числа умножается на
каждая часть второго комплексного числа

Просто используйте "FOIL", что означает " F irsts, O uters, I nners, L assts" (см. Биномиальное умножение для более подробной информации):

  • Первые: a × c
  • Внешний: a × d i
  • Внутренние: b i × c
  • Длина: b i × d i

(a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + bc i + bd i 2

Как это:

Пример: (3 + 2i) (1 + 7i)

(3 + 2i) (1 + 7i) = 3 × 1 + 3 × 7i + 2i × 1 + 2i × 7i

= 3 + 21i + 2i + 14i 2

= 3 + 21i + 2i - 14 (потому что i 2 = −1)

= −11 + 23i

А это:

Пример: (1 + i) 2

(1 + я) (1 + я) = 1 × 1 + 1 × я + 1 × я + я 2

= 1 + 2i - 1 (поскольку i 2 = −1)

= 0 + 2i

Но есть способ быстрее!

Используйте это правило:

(a + b i ) (c + d i ) = (ac − bd) + (ad + bc) i

Пример: (3 + 2i) (1 + 7i) = (3 × 1-2 × 7) + (3 × 7 + 2 × 1) i = −11 + 23i

Почему это правило работает?

Это просто метод "ФОЛЬГА" после небольшой работы:

(a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + bc i + bd i 2 FOIL method

= ac + ad i + bc i - bd (потому что i 2 = −1)

= (ac - bd) + (ad + bc) i (собирает похожие термины)

И вот у нас есть шаблон (ac - bd) + (ad + bc) i .

Это правило, безусловно, быстрее, но если вы его забудете, просто запомните метод FOIL.

Давайте попробуем i 2

Ради интереса воспользуемся методом вычисления i 2

Пример: i 2

Мы можем записать i с действительной и мнимой частью как 0 + i

i 2 = (0 + i) 2 = (0 + i) (0 + i)

= (0 × 0 - 1 × 1) + (0 × 1 + 1 × 0) и

= -1 + 0 и

= −1

И это хорошо согласуется с определением, что i 2 = −1

Так что все работает замечательно!

Узнайте больше в разделе «Умножение комплексных чисел».

Конъюгаты

Нам нужно будет узнать о конъюгатах через минуту!

Сопряжение - это где мы меняем знак в середине вот так:

Сопряжение часто пишется с чертой над ним:

Пример:

5 - 3 i = 5 + 3 i

Деление

Конъюгат используется для облегчения сложного деления.

Уловка состоит в том, чтобы умножить верхний и нижний на , сопряженный с нижним .

Пример: Сделайте это Подразделение:

2 + 3 i 4-5 i

Умножить верхнюю и нижнюю на конъюгат 4-5 i :

2 + 3 i 4-5 i × 4 + 5 i 4 + 5 i = 8 + 10 i + 12 i + 15 i 2 16 + 20 i –20 i –25 i 2

Теперь запомните, что i 2 = −1, поэтому:

= 8 + 10 i + 12 i -15 16 + 20 i -20 i + 25

Добавить условия «Нравится» (и обратите внимание, как внизу 20 i - 20 i отменяются!):

= −7 + 22 i 41

Наконец, мы должны вернуть ответ в форму a + b i :

= −7 41 + 22 41 i

СДЕЛАНО!

Да, нужно немного посчитать.Но это можно сделать .

Умножение на конъюгат

Но есть способ быстрее.

В предыдущем примере было интересно то, что произошло внизу:

(4-5 i ) (4 + 5 i ) = 16 + 20 i -20 i -25 i 2

Средние условия (20 i - 20 i ) аннулируются! Также i 2 = −1, поэтому получаем:

(4-5 i ) (4 + 5 i ) = 4 2 + 5 2

Это действительно довольно простой результат.Общее правило:

(a + b i ) (a - b i ) = a 2 + b 2

Мы можем использовать это, чтобы сэкономить время при делении, например:

Пример: попробуем еще раз

2 + 3 i 4-5 i

Умножить верхнюю и нижнюю на конъюгат 4-5 i :

2 + 3 i 4-5 i × 4 + 5 i 4 + 5 i = 8 + 10 i + 12 i + 15 я 2 16 + 25

= −7 + 22 i 41

И затем обратно в форму a + b i :

= −7

.

Смотрите также